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By Roshdi Rashed, Helene Bellosta

ISBN-10: 3110186772

ISBN-13: 9783110186772

Einem einzigartigen und schwierigen challenge gewidmet, ist die Abhandlung Uber den Verhaltnisschnitt von Apollonius aus Perge ein bemerkenswert komplexes Beispiel fur die Erforschung der notwendigen Voraussetzungen fur die Existenz einer Losung. Der vorliegende Band bietet die editio princeps des nur arabisch uberlieferten Textes. Erschlossen wird er durch eine franzosische Ubersetzung und einen Kommentar, der die Mechanismen des schwierigen Beweises durch Apollonius aufzeigt und dabei besonders auf deren konzeptionelle Innovationen hinweist.

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KM, KI = KM] =::} [ lK = CM, KI = KM] El = -CK KM = -CK KI = -CE EK KM (d ans tous 1es cas d e f·Igure sIon . l' . en a f aIt sorte que El· CM = KI· KM)]. EK est donc moyenne proportionnelle de El et de EG, ce qui détermine le point K (dont il faudra en outre vérifier qu'il appartient au segment requis par le cas de figure considéré) et le point M, symétrique de 1 par rapport à lH , VOIr . l' an al yse. ) K . 0 n a a1ors -EL = - lH ( et meme =EL = = A CK CM CK CM Pour montrer que la valeur du rapport qui correspond à cette position du point K est extrémale sur l'intervalle considéré, Apollonius mène une 25 2,2, Les lieux 3 à 7 autre droite (HK'L') correspondant au même cas de figure, et montre que, comparer les rapports EL et EL' , revient à comparer les surfaces KI .

De x = -db - Il , e d'enommateur s'annule et le problème n'a pas de solution, sauf si a = 0, c'est-à-dire si le k .. , < -d - 1 et a'1 a trOlsIeme SI'k > -d - 1 ; SI'k b b point J est sur (EG). Dans ce dernier cas, non envisagé par Apollonius, x est indéterminé et on peut choisir L arbitrairement. 2. LIEUX 3 À 21 : (AB) NON PARALLÈLE À (CD) On prend les droites (CD) et (AB) comme axes de coordonnées, se coupant en l'origine M. On se donne un point E sur (AB), d'ordonnée d, un point G sur (CD), d'abscisse c et un point H du plan, de coordonnées a et b.

3, L'entre M et E), alors: Hl El EQ' EL' EP EM EQ EL' -<-<-<- où P est le point d'intersection de (HM) et de (UV), d'où Cl Gl EQ' EL' Hl Cl Gl EQ EP -'- < -'- < -'- < -'Hl El Hl Hl EM Hl EL' soit Cl El CK' EL' CM EM CK EL -<-<-<-. 3. 2. Sixième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L a pour extrémité M, et M appartient à l'un des intervalles de la droite (AB) déterminés par les points E, N et J, sur lequel le rapport NQ a une EL 36 Chapitre l : Applications des aires valeur extrémale (atteinte au point F de cet intervalle tel que NF soit moyenne proportionnelle de Nl et de NE).

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